Setelah kemarin saya mengerjakan soal mengenai Transformasi Geometri, kali ini saya ingin memberikan solusi untuk soal mengenai Bilangan. Soal ini juga saya ambil dari kaskus. Salah satu kaskuser di thread Problem Solving, memberikan suatu pertanyaan seperti ini.

Nah untuk mengerjakan soal seperti ini, memang kita bisa menghitung masing-masing pangkat di atas, kemudian dijumlahkan, baru kemudian dilihat angka atau digit satuan dari bilangan tersebut. Namun, cara itu membutuhkan waktu yang lama dan ketelitian yang tinggi. Berhubung waktu untuk mengerjakan soal yang demikian biasanya tidak terlalu banyak, kitan perlu untuk menerapkan strategi lain yang lebih "cerdas", dalam arti tidak terlalu banyak menyita waktu kita.

Sebelum melangkah ke solusi dari soal tersebut, sebaiknya kita ingat-ingat dulu apa maksud dari bilangan satuan. Misalkan kita punya bilangan 2013. Tentu dengan melihat bilangan tersebut, kita langsung bisa menebak bahwa bilangan satuannya 3, karena sudah jelas terlihat di bilangan itu. Namun, akan menjadi masalah kalau kita tidak diberikan bilangan yang eksplisit seperti 2013 itu, misalnya bilangan $7^{1234}$.

Kalau diperhatikan lebih seksama, sebenarnya kita dapat menemukan bilangan satuan dari 2013, dengan cara membagi bilangan 2013 itu dengan bilangan 10. Kemudian sisa pembagian inilah yang menuntun kita untuk mendapatkan bilangan 3. Kita tahu bahwa $2013 = 201 \cdot 10 + 3$. Ini berarti 2013 dibagi 10 bersisa 3, dan bilangan 3 inilah yang kemudian kita sebut sebagai bilangan satuan untuk bilangan 2013.

Kembali ke soal semula, bagaimana kita mencari bilangan satuan dari bilangan $7^{1234}$? Tujuan kita disini tentu ingin mencari sisa pembagian $7^{1234}$ oleh 10. Perhatikan bahwa, \begin{align*} 7^1 &= 7\\ 7^2 &= 49 = 4 \cdot 10 + 9\\ 7^3 &= 7^2 \cdot 7 \\ &= (4\cdot10 +9) \cdot 7 \\ &= 28\cdot10+ 63 \\ &= 28 \cdot 10 + 6\cdot10 + 3 \\ &=34 \cdot10 + 3\\ 7^4 &= 7^3\cdot7\\ &= (34\cdot10+3)\cdot7\\ &=240\cdot10+1\\ 7^5 &= 1680 \cdot 10 +7\\ 7^6 &= 11764 \cdot 10 +9\\ \end{align*} Dari persamaan di atas, dapat kita lihat bahwa sisa pembagian 7 pangkat bilangan tertentu akan berulang setiap kelipatan 4, yaitu masing-masing 7, 9, 3, dan 1 dst.

Dengan menggunakan logika di atas, maka kita dapat menentukan sisa pembagian $7^{1234}$ oleh 10 yaitu, \begin{align*} 7^{1234} &= 7^{4 \cdot 308+2}\\ &= 7^{4 \cdot 308} \times 7^2\\ \end{align*}

Jadi sisa pembagian $7^{1234}$ oleh 10 sama dengan sisa pembagian $7^2$ oleh 10, yaitu 9. Dengan cara yang sama dengan itu, sisa pembagian $7^{2341}$ adalah 7, sisa pembagian $7^{3412}$ adalah 0, dan pembagian $7^{4123}$ adalah 1. Kemudian bila semua sisa masing-masing bagian ini kita jumlahkan diperoleh bilangan $9+7+1=17$, dengan sisa pembagian dengan 10 adalah 7. Dari sini dapat disimpulkan bahwa sisa pembagian $7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} +7^{4123}$ oleh 10, atau dengan kata lain bilangan satuannya adalah 7.

Saya tertarik untuk mengerjakan salah satu soal yang diajukan oleh salah satu kaskuser di Kaskus. Ia menuliskan soal matematika ini di thread Ruang Ngopi Anak-Anak Matematika. Berikut ini soal lengkapnya.

Ambil sebarang titik $(x,y)$ pada garis $x +3y +2 = 0$. Titik ini ditransformasikan dengan matriks \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} akan menjadi \begin{equation} \label{eq:pertama} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\end{equation} Matriks \ref{eq:pertama} kemudian ditransformasi lagi dengan matriks \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} menjadi \begin{equation} \label{eq:kedua} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\end{equation} Dengan menyelesaikan persamaan \ref{eq:kedua} di atas diperoleh \begin{equation} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 10 & 17 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\end{equation} sehingga \begin{align*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \frac{1}{4\cdot 17 - 7 \cdot 10} \begin{pmatrix} 17 & -7 \\ -10 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}\\ &= -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 17 & -7 \\ -10 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -\frac{17}{2} & \frac{7}{2} \\ 5 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix} \end{align*} atau \begin{align*} x &= -\frac{17}{2}x'' + \frac{7}{2}y''\\ y &= 5x'' -2y'' \end{align*} Kita substitusikan $x$ dan $y$ di atas pada persamaan $x+3y+2=0$, sehingga diperoleh \begin{align*} x + 3y+2 &= 0\\ \left ( -\frac{17}{2}x''+\frac{7}{2}y''\right )+ 3 \left(5x''-2y''\right) + 2 &= 0\\ 13x''-5y''+4 &= 0 \end{align*} Jadi hasil transformasi garis $x+3y+2=0$ oleh dua matriks tersebut di atas adalah garis \begin{equation} 13x-5y+4=0 \end{equation}

Jawaban soal dari kaskus yang lain antara lain adalah soal mengenai persamaan kuadrat, teori bilangan dan pertaksamaan.