Belajar Matematika

Pernahkah anda menjumpai bilangan seperti ini, -5, -34, -120 dan sebagainya? Bagaimana anda membaca bilangan-bilangan tersebut? Barangkali anda akan membaca bilangan tersebut dengan min lima atau minus lima, min tiga puluh empat atau minus tiga puluh empat, serta minus seratus dua puluh. Tahukah anda bahwa cara membaca bilangan seperti itu salah?

Bilangan-bilangan seperti -5, -34, -120 adalah beberapa contoh bilangan negatif, lebih tepatnya bilangan bulat negatif, bukan minus. Negatif merupakan tanda yang menunjukkan bahwa letak bilangan-bilangan tersebut jika dilukiskan dalam suatu garis bilangan, berada di sebelah kiri bilangan nol. Sedangkan minus atau pengurangan merupakan adalah salah satu operasi hitung yang dikenakan pada himpunan. Himpunan tersebut bisa saja himpunan semua bilangan real, himpunan semua bilangan bulat, atau himpunan bilangan rasional. Operasi minus berbeda dengan tanda bilangan negatif karena operasi minus melibatkan dua bilangan sedangkan tanda bilangan negatif berkenaan dengan satu bilangan.

Bilangan negatif ini digunakan dalam definisi dari operasi pengurangan tersebut. Misalkan a, b bilangan real, maka operasi a – b = a + (-b) (dibaca a minus b sama dengan a ditambah negatif b).

Definisi ini sangat berguna pada saat kita perlu melakukan penyelesaian persamaan linear.

Himpunan bilangan merupakan salah satu konsep matematika yang penting untuk dipahami dan dikuasai. Himpunan memegang peranan penting dalam pemahaman terhadap konsep matematika yang lain. Saya tidak akan pengertian himpunan di sini. Sudah cukup banyak buku dan artikel yang membahas definisi dari himpunan. Saya hanya akan membahas himpunan bilangan, dengan himpunan semesta himpunan semua bilangan real. Ada hal yang membuat saya sering risau dan resah dengan beberapa hal yang salah. Kesalahan ini sering saya jumpai di artikel internet, di kaskus misalnya.

Sering saya jumpai, orang menuliskan atau menyebut himpunan semua bilangan real/bulat/cacah/asli hanya dengan sebutan himpunan bilangan real/bulat/cacah/asli. Loh emang apa bedanya?Mungkin pertanyaan seperti itu muncul dalam benak anda.

Untuk dapat melihat perbedaannya, perhatikan himpunan-himpunan berikut ini

A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} 

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 

C = { -6, -5 , -4, -3, -2, -1} 

D = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Perhatikan bahwa semua anggota himpunan A adalah bilangan bulat, maka tidak salah jika himpunan A disebut himpunan bilangan bulat. Begitu juga dengan himpunan B dan himpunan C, semua anggotanya merupakan bilangan bulat. Dengan demikian himpunan B dan himpunan C merupakan himpunan bilangan bulat. Namun sekarang perhatikan himpunan D. Semua anggota himpunan D juga merupakan bilangan bulat. Bedanya, himpunan D memuat semua bilangan bulat yang ada, ditandai dengan elipsis(tanda titik tiga) sebelum -3 dan setelah 3.

Di sini terlihat jelas bahwa meskipun himpunan A, himpunan B dan himpunan C adalah sama-sama himpunan bilangan bulat, bukan berarti mereka adalah himpunan yang sama. Hal ini karena ketiga himpunan tersebut tidak memiliki anggota yang sama. Karena ada himpunan semacam himpunan A, himpunan B dan himpunan C inilah, kita tidak bisa menyebut himpunan D sebagai himpunan bilangan bulat. Maka kita sebut himpunan D ini sebagai himpunan semua bilangan bulat.

Hal ini yang biasanya sering dipertukarkan, alih-alih menyebut himpunan semua bilangan bulat, tapi malah menyebut himpunan bilangan bulat. Bagaimana dengan Anda?Sudahkan anda menyebut dengan benar?

Setelah kemarin saya mengerjakan soal mengenai Transformasi Geometri, kali ini saya ingin memberikan solusi untuk soal mengenai Bilangan. Soal ini juga saya ambil dari kaskus. Salah satu kaskuser di thread Problem Solving, memberikan suatu pertanyaan seperti ini.

Nah untuk mengerjakan soal seperti ini, memang kita bisa menghitung masing-masing pangkat di atas, kemudian dijumlahkan, baru kemudian dilihat angka atau digit satuan dari bilangan tersebut. Namun, cara itu membutuhkan waktu yang lama dan ketelitian yang tinggi. Berhubung waktu untuk mengerjakan soal yang demikian biasanya tidak terlalu banyak, kitan perlu untuk menerapkan strategi lain yang lebih "cerdas", dalam arti tidak terlalu banyak menyita waktu kita.

Sebelum melangkah ke solusi dari soal tersebut, sebaiknya kita ingat-ingat dulu apa maksud dari bilangan satuan. Misalkan kita punya bilangan 2013. Tentu dengan melihat bilangan tersebut, kita langsung bisa menebak bahwa bilangan satuannya 3, karena sudah jelas terlihat di bilangan itu. Namun, akan menjadi masalah kalau kita tidak diberikan bilangan yang eksplisit seperti 2013 itu, misalnya bilangan $7^{1234}$.

Kalau diperhatikan lebih seksama, sebenarnya kita dapat menemukan bilangan satuan dari 2013, dengan cara membagi bilangan 2013 itu dengan bilangan 10. Kemudian sisa pembagian inilah yang menuntun kita untuk mendapatkan bilangan 3. Kita tahu bahwa $2013 = 201 \cdot 10 + 3$. Ini berarti 2013 dibagi 10 bersisa 3, dan bilangan 3 inilah yang kemudian kita sebut sebagai bilangan satuan untuk bilangan 2013.

Kembali ke soal semula, bagaimana kita mencari bilangan satuan dari bilangan $7^{1234}$? Tujuan kita disini tentu ingin mencari sisa pembagian $7^{1234}$ oleh 10. Perhatikan bahwa, \begin{align*} 7^1 &= 7\\ 7^2 &= 49 = 4 \cdot 10 + 9\\ 7^3 &= 7^2 \cdot 7 \\ &= (4\cdot10 +9) \cdot 7 \\ &= 28\cdot10+ 63 \\ &= 28 \cdot 10 + 6\cdot10 + 3 \\ &=34 \cdot10 + 3\\ 7^4 &= 7^3\cdot7\\ &= (34\cdot10+3)\cdot7\\ &=240\cdot10+1\\ 7^5 &= 1680 \cdot 10 +7\\ 7^6 &= 11764 \cdot 10 +9\\ \end{align*} Dari persamaan di atas, dapat kita lihat bahwa sisa pembagian 7 pangkat bilangan tertentu akan berulang setiap kelipatan 4, yaitu masing-masing 7, 9, 3, dan 1 dst.

Dengan menggunakan logika di atas, maka kita dapat menentukan sisa pembagian $7^{1234}$ oleh 10 yaitu, \begin{align*} 7^{1234} &= 7^{4 \cdot 308+2}\\ &= 7^{4 \cdot 308} \times 7^2\\ \end{align*}

Jadi sisa pembagian $7^{1234}$ oleh 10 sama dengan sisa pembagian $7^2$ oleh 10, yaitu 9. Dengan cara yang sama dengan itu, sisa pembagian $7^{2341}$ adalah 7, sisa pembagian $7^{3412}$ adalah 0, dan pembagian $7^{4123}$ adalah 1. Kemudian bila semua sisa masing-masing bagian ini kita jumlahkan diperoleh bilangan $9+7+1=17$, dengan sisa pembagian dengan 10 adalah 7. Dari sini dapat disimpulkan bahwa sisa pembagian $7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} +7^{4123}$ oleh 10, atau dengan kata lain bilangan satuannya adalah 7.

Saya tertarik untuk mengerjakan salah satu soal yang diajukan oleh salah satu kaskuser di Kaskus. Ia menuliskan soal matematika ini di thread Ruang Ngopi Anak-Anak Matematika. Berikut ini soal lengkapnya.

Ambil sebarang titik $(x,y)$ pada garis $x +3y +2 = 0$. Titik ini ditransformasikan dengan matriks \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} akan menjadi \begin{equation} \label{eq:pertama} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\end{equation} Matriks \ref{eq:pertama} kemudian ditransformasi lagi dengan matriks \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} menjadi \begin{equation} \label{eq:kedua} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\end{equation} Dengan menyelesaikan persamaan \ref{eq:kedua} di atas diperoleh \begin{equation} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 10 & 17 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\end{equation} sehingga \begin{align*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \frac{1}{4\cdot 17 - 7 \cdot 10} \begin{pmatrix} 17 & -7 \\ -10 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}\\ &= -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 17 & -7 \\ -10 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -\frac{17}{2} & \frac{7}{2} \\ 5 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x''\\ y'' \end{pmatrix} \end{align*} atau \begin{align*} x &= -\frac{17}{2}x'' + \frac{7}{2}y''\\ y &= 5x'' -2y'' \end{align*} Kita substitusikan $x$ dan $y$ di atas pada persamaan $x+3y+2=0$, sehingga diperoleh \begin{align*} x + 3y+2 &= 0\\ \left ( -\frac{17}{2}x''+\frac{7}{2}y''\right )+ 3 \left(5x''-2y''\right) + 2 &= 0\\ 13x''-5y''+4 &= 0 \end{align*} Jadi hasil transformasi garis $x+3y+2=0$ oleh dua matriks tersebut di atas adalah garis \begin{equation} 13x-5y+4=0 \end{equation}

Jawaban soal dari kaskus yang lain antara lain adalah soal mengenai persamaan kuadrat, teori bilangan dan pertaksamaan.

Buku Metode Numerik karya Rinaldi Munir ini merupakan buku bagus. Meskipun ada beberapa salah ketik, saya tetap menghargai buku ini. Bagi yang mau mengunduh silakan download buku metode numerik gratis berikut ini.

Menyelesaikan bentuk polinomial derajat satu sudah banyak diketahui. Polinomial berderajat satu lazimnya disebut persamaan linear. Solusi persamaan linear berbentuk $ax+b=0$ dengan $a\neq 0$ adalah $x=-\dfrac{b}{a}$. Sekarang kita akan menentukan solusi dari persamaan kuadrat berbentuk $ax^2+bx+c=0$ dengan $a \neq 0$.