Saya tertarik untuk mengerjakan salah satu soal yang diajukan oleh salah satu kaskuser di Kaskus. Ia menuliskan soal matematika ini di thread Ruang Ngopi Anak-Anak Matematika. Berikut ini soal lengkapnya.
Bayangan garis $x + 3y + 2 = 0$ oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} dilanjutkan matriks \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} adalah
Ambil sebarang titik $(x,y)$ pada garis $x +3y +2 = 0$. Titik ini ditransformasikan dengan matriks
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
1 & 2
\end{pmatrix}
akan menjadi
\begin{equation}
\label{eq:pertama}
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
1 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\end{equation}
Matriks \ref{eq:pertama} kemudian ditransformasi lagi dengan matriks
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
menjadi
\begin{equation}
\label{eq:kedua}
\begin{pmatrix}
x'' \\
y''
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
1 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\end{equation}
Dengan menyelesaikan persamaan \ref{eq:kedua} di atas diperoleh
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
x'' \\
y''
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
4 & 7 \\
10 & 17
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\end{equation}
sehingga
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
&=
\frac{1}{4\cdot 17 - 7 \cdot 10}
\begin{pmatrix}
17 & -7 \\
-10 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x''\\
y''
\end{pmatrix}\\
&=
-\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
17 & -7 \\
-10 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x''\\
y''
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
-\frac{17}{2} & \frac{7}{2} \\
5 & -2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x''\\
y''
\end{pmatrix}
\end{align*}
atau
\begin{align*}
x &= -\frac{17}{2}x'' + \frac{7}{2}y''\\
y &= 5x'' -2y''
\end{align*}
Kita substitusikan $x$ dan $y$ di atas pada persamaan $x+3y+2=0$, sehingga diperoleh
\begin{align*}
x + 3y+2 &= 0\\
\left ( -\frac{17}{2}x''+\frac{7}{2}y''\right )+ 3 \left(5x''-2y''\right) + 2 &= 0\\
13x''-5y''+4 &= 0
\end{align*}
Jadi hasil transformasi garis $x+3y+2=0$ oleh dua matriks tersebut di atas adalah garis
\begin{equation}
13x-5y+4=0
\end{equation}
Jawaban soal dari kaskus yang lain antara lain adalah soal mengenai persamaan kuadrat, teori bilangan dan pertaksamaan.
Jawaban soal dari kaskus yang lain antara lain adalah soal mengenai persamaan kuadrat, teori bilangan dan pertaksamaan.
